Exercício resolvido - A reta de equação x + y – 8 = 0 é secante à circunferência de equação...
A reta de equação x + y – 8 = 0 é secante à circunferência de equação x² + y² – 2y – 24 = 0 e intercepta esta circunferência nos pontos P e Q. O comprimento da corda PQ que está reta determina na circunferência tem comprimento:
A) √2
B) √3
C) √5
D) √6
E) 7
Solução:
Primeiro, vamos determinar os pontos de interseção entre
a reta x + y – 8 = 0 e a circunferência x² + y² – 2y – 24 = 0.
x + y – 8 = 0 ⇒ x = –y + 8
Substituindo x na equação da circunferência, obtemos:
x² + y² – 2y – 24 = 0
(–y + 8)² + y² – 2y – 24 = 0
y² – 16y + 64 + y² – 2y – 24 = 0
2y² – 18y + 40 = 0
y² – 9y + 20 = 0
Resolvendo essa equação do 2º grau:
∆ = b² - 4ac
∆ = 1
y = (-b ± √∆)/2a
y = (9 ± 1)/2
y = 5 ou y = 4
Para y = 4, temos:
x = –y + 8
x = –4 + 8
x = 4
Para y = 5, temos:
x = –y + 8
x = –5 + 8
x = 3
Portanto, os pontos de interseção são: (3, 5) e (4, 4).
Logo, o comprimento da corda PQ é:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
d = √[(4 - 3)² + (4 - 5)²]
d = √2 (RESPOSTA "A")