Exercício resolvido - Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material...
Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração.
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a:
A) 1/2 B) 3/4 C) 5/6 D) 7/8
Solução:
Sejam "g", "R" e "H" as respectivas medidas da geratriz, raio da base e altura do cone.
O volume do sólido é dado por: V = (1/3) ∙ πR² ∙ H
Observe que a parte do sólido que não está submersa representa um cone cujo tamanho é menor do que o cone original. E ainda mais, sabemos que a medida da geratriz desse cone menor é "g/2" e que o cone menor é semelhante ao cone original. Então, aplicando uma regra de três, obtemos que a altura e o raio do cone menor medem:
Cone original .......... Cone menor
....... g ......................... g/2
........R .......................... r
........H .......................... h
r = R/2 (raio do cone menor)
h = H/2 (altura do cone menor)
Logo, o volume do cone menor é:
v = (1/3) ∙ πr² ∙ h
v = (1/3) ∙ π(R²/4) ∙ H/2
Agora que temos o volume do cone original e o volume do cone menor, podemos determinar o volume do tronco do cone original, que corresponde a parte submersa.
volume tronco = V - v
volume tronco = (1/3) ∙ πR² ∙ H - (1/3) ∙ π(R²/4) ∙ H/2
volume tronco = (1/3) ∙ πR² ∙ H ∙ (1 - 1/8)
volume tronco = (7/8) ∙ (1/3) ∙ πR² ∙ H
Portanto, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a:
razão = (volume tronco)/V
razão = [(7/8) ∙ (1/3) ∙ πR² ∙ H]/[(1/3) ∙ πR² ∙ H]
razão = 7/8 (RESPOSTA "D")