A reta que contém o ponto A(1, 2) e é perpendicular a reta r, cuja equação é x + y - 7 = 0, intercepta r no ponto cujas coordenadas são:
A) (1, 6)        B) (2, 5)        C) (3, 4)        D) (4, 3)        E) (5, 2)

Solução:
r: x + y - 7 = 0

Escrevendo a equação da reta r na forma reduzida obtemos:
x + y - 7 = 0
y = -x + 7
Então, o coeficiente angular da reta r é: m₁ = -1.

Seja m₂ o coeficiente angular da reta que é perpendicular à reta r.
Como as retas são perpendiculares, vale a seguinte relação:
m₁ ∙ m₂ = -1

Logo, o coeficiente angular da reta perpendicular a r é: m₂ = 1.

Portanto, a equação dessa reta é:
(y - y₀) = m(x - x₀) (fórmula)
(y - 2) = 1(x - 1)
y = x + 1

Agora que temos a equação das duas retas podemos determinar o ponto de interseção.
r: y = -x + 7
s: y = x + 1

Somando essas duas equações obtemos:
2y = 8
y = 4 (valor da coordenada y)

Substituindo y = 4 em uma das equações obtemos:
y = x + 1
4 = x + 1
x = 3

Portanto, as coordenadas do ponto de interseção são: (3, 4) (RESPOSTA "C")

(FUVEST) Na figura o ângulo OCA mede 90º, o ângulo COA mede 45º e o segmento OC mede √2 . A equação da reta AB é:

A) x + y – 2 = 0            
B) x + y – 1 = 0
C) x – y + 2 = 0
D) x – y + 1 = 0
E) x – y – 1 = 0

Solução:

Os triângulos OCA e OCB são congruentes, pois OC é um lado comum aos dois triângulos e seus respectivos ângulos internos são iguais. Disso concluímos que a medida de OA é igual a medida de OB.

Como os triângulos são retângulos, temos que:
cos COA = (cat. adj.)/(hip.)
cos 45º = √2/OA
√2/2 = √2/OA
OA = 2 = OB

Logo, as coordenadas dos pontos A e B são, respectivamente, (-2, 0) e (0, 2).

Portanto, a equação da reta AB é:
|x      y      1|
|-2     0      1| = 0
|0      2      1|

-4 - (2x - 2y) = 0
-2x + 2y - 4 = 0 (÷ -2)
x - y + 2 = 0 (RESPOSTA "C")

A reta de equação x + y – 8 = 0 é secante à circunferência de equação x² + y² – 2y – 24 = 0 e intercepta esta circunferência nos pontos P e Q. O comprimento da corda PQ que está reta determina na circunferência tem comprimento:
A) √2
B) √3
C) √5
D) √6
E) 7

Solução:
Primeiro, vamos determinar os pontos de interseção entre
a reta x + y – 8 = 0 e a circunferência x² + y² – 2y – 24 = 0.

x + y – 8 = 0 ⇒ x = –y + 8

Substituindo x na equação da circunferência, obtemos:
x² + y² – 2y – 24 = 0
(–y + 8)² + y² – 2y – 24 = 0
y² – 16y + 64 + y² – 2y – 24 = 0
2y² – 18y + 40 = 0
y² – 9y + 20 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau:
∆ = b² - 4ac
∆ = 1
y = (-b ± √∆)/2a
y = (9 ± 1)/2
y = 5 ou y = 4

Para y = 4, temos:
x = –y + 8
x = –4 + 8
x = 4

Para y = 5, temos:
x = –y + 8
x = –5 + 8
x = 3

Portanto, os pontos de interseção são: (3, 5) e (4, 4).
Logo, o comprimento da corda PQ é:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
d = √[(4 - 3)² + (4 - 5)²]
d = √2 (RESPOSTA "A")

(CESESP) Em um toca disco, o prato é movimentado por uma roldana encostada na parte lateral interna inferior do mesmo e para cada 5 giros completos da roldana o prato completa uma volta. Tomando-se o sistema de coordenadas cartesianas xOy, a circunferência do prato tem por equação x²+ y² = 225. Assinale, dentre as alternativas abaixo, aquela correspondente à equação da circunferência da roldana.
A) x² + y² + 24y – 135 = 0
B) x² + y² – 24x + 135 = 0
C) x² + y² – 24y + 135 = 0
D) x² + y² + 24x + 135 = 0
E) x² + y² + 24y + 135 = 0

Solução:

A circunferência do prato tem por equação x² + y² = 225, o que significa que o centro do prato tem coordenada C(0, 0) e o raio da circunferência mede R = √225 = 15.

Uma volta completa do prato corresponde a percorrer 2πR, ou seja:
C = 2πR
C = 2 ∙ 15 ∙ π
C = 30π

Uma volta completa da roldana corresponde a 2πr, o que signifique que 5 voltas completas correspondem a 10πr.
Como 5 giros completos da roldana corresponde a uma volta completa do prato, temos:
30π = 10πr
r = 3

Como a roldana fica encostada na parte lateral interna inferior do prato, podemos concluir que o centro da roldana tem coordenada C(0, -12).

Portanto, a equação da circunferência da roldana é:
(x - xo)² + (y - yo)² = r²
(x - 0)² + (y - (-12))² = 3²
x² + y² + 24y + 135 = 0 (RESPOSTA "E")