Um carpinteiro quer dividir em partes iguais três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3 m, 42 dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos com as três vigas é:

A) 18        B) 21        C) 210        D) 180        E) 20

Solução:
Primeiro, vamos converter as três medidas para uma unidade de medida em comum.
Neste caso, vou optar por deixar as três medidas em decímetros.

3 m = 30 dm
0,0054 km = 54 dm
42 dm = 42 dm

Agora para obter o maior pedaço possível, basta calcular o Máximo Divisor Comum entre 30, 42, 54.

30 = 2 ∙ 3 ∙ 5
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7
54 = 2 ∙ 3³

Logo, mdc(30, 42, 54) = 6.

Portanto, o total de pedaços obtidos com as três vigas é:
Total = (30 + 54 + 42)/6
Total = 21 pedaços (RESPOSTA "B")

Sejam dois números tais que:
- o mdc (A, B) = 2 ∙ 3 ∙ 5;
- o mmc(A, B) = 2³ ∙ 3² ∙ 5 ∙ 7;
- B não é divisível por 7, mas é por 9;
- A é múltiplo de 60.

Assim é correto afirmar que:
A) o maior desses números é divisível por 45;
B) B é múltiplo de 40;
C) a soma desses números é 930;
D) a diferença entre eles é 680;
E) eles são primos entre si.

Solução:
Se B não é divisível por 7, concluímos que A é divisível por 7.
Então, a decomposição de A em fatores primos é da forma A = ... ∙ 7.

Se B é divisível por 9 = 3 ∙ 3, a decomposição de B em fatores primos é da forma B = ... ∙ 3².

Se A é múltiplo de 60, então A é da forma: A = 60x = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ x

Analisando tudo o que foi afirmado até agora e levando em consideração que
mdc (A, B) = 2 ∙ 3 ∙ 5
mmc (A, B) = 2³ ∙ 3² ∙ 5 ∙ 7
concluímos que:
A = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 840
B = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 90

A + B = 840 + 90
A + B = 930 (RESPOSTA "C")

Ao dividirmos por 22 um número cuja forma fatorada é 2³ ∙ 3 ∙ 5² ∙ 7 ∙ 11, encontramos o mmc entre dois números A e B. Considerando que o maior é o sêxtuplo do menor, podemos afirmar que o mdc(A, B) é:
A) 2100        B) 1050        C) 525        D) 350

Solução:
N = 2³ ∙ 3 ∙ 5² ∙ 7 ∙ 11
N = 2² ∙ 3 ∙ 5² ∙ 7 ∙ 22

Dividindo N por 22, obtemos:
2² ∙ 3 ∙ 5² ∙ 7 ∙ 22 ÷ 22 = 2² ∙ 3 ∙ 5² ∙ 7

Logo:
mmc(A, B) = 2² ∙ 3 ∙ 5² ∙ 7

Agora, vamos supor que B > A. Logo, concluímos que B = 6A e, consequentemente:
mmc(A, 6A) = 2² ∙ 3 ∙ 5² ∙ 7

Então o valor de A só pode ser: A = 2 ∙ 5² ∙ 7
E o valor de B é 6 ∙ 2 ∙ 5² ∙ 7, que é o mesmo que 2² ∙ 3 ∙ 5² ∙ 7

Portanto, o mdc(A, B) é:
mdc(A, B) = 350 (RESPOSTA "D")