O polinômio P(x) tem grau 4n + 2 e o polinômio Q(x) tem grau 3n - 1, sendo n inteiro e positivo. O grau do polinômio P(x) ∙ Q(x) é sempre:

A) Igual ao máximo divisor comum entre 4n + 2 e 3n - 1
B) Igual a 7n + 1
C) Inferior a 7n + 1
D) Igual a 12n² + 2n + 2
E) Inferior a 12n² + 2n + 2

Solução:
Se o polinômio P(x) tem grau 4n + 2, então ele tem a seguinte forma:
P(x) = ax^(4n + 2) + bx^(4n + 1) + cx^(4n) + ..., onde a ≠ 0.

E se o polinômio Q(x) tem grau 3n - 1, então ele tem a seguinte forma:
Q(x) = kx^(3n - 1) + px^(3n - 2) + qx^(3n - 3) + ..., onde k ≠ 0.

Multiplicando entre si os termos de maior grau de cada polinômio, obtemos:
ax^(4n + 2) ∙ kx^(3n - 1) = akx^(7n + 1)

Logo, o grau do polinômio P(x) ∙ Q(x) é: 7n + 1. (RESPOSTA "B")

Dado o polinômio P(x) = 2x³ – 6x² – 4x + k, cujas raízes reais e positivas são x₁, x₂ e x₃,
podemos afirmar que o valor de k, que faz com que (x₁)² + (x₂)² = (x₃)², é igual a:

Solução:
P(x) = 2x³ – 6x² – 4x + k
(x₁)² + (x₂)² = (x₃)²

Pelas relações de Girard sabemos que:
• x₁ + x₂ + x₃ = -b/a ⇒ x₁ + x₂ + x₃ = 3
• (x₁)(x₂) + (x₁)(x₃) + (x₂)(x₃) = c/a ⇒ (x₁)(x₂) + (x₁)(x₃) + (x₂)(x₃) = -2

Elevando ao quadrados os dois lados da igualdade x₁ + x₂ + x₃ = 3, obtemos:
(x₁ + x₂ + x₃)² = 9
(x₁)² + (x₂)² + (x₃)² + 2 ∙ [(x₁)(x₂) + (x₁)(x₃) + (x₂)(x₃)] = 9
(x₃)² + (x₃)² + 2 ∙ (-2) = 9
2(x₃)² = 13
x₃ = √(13/2)

Então, o valor de uma das raízes de P(x) é: x₃ = √(13/2).

Se x₃ é raiz de P(x), então P(x₃) = 0. Logo:
P(x₃) = 0
2(x₃)³ – 6(x₃)² – 4(x₃) + k = 0
2(√(13/2))³ – 6(√(13/2))² – 4√(13/2) + k = 0
k - 39 + 9√(13/2) = 0
k = + 39 - 9√(13/2) (RESPOSTA)

Você também pode reescrever essa resposta da seguinte maneira:
k = + 39 - 9√(13/2)
k = + 39 - 9√(26/4)
k = + 39 - (9√26)/2

Calcule os valores de a e b para que o polinômio p(x) = x³ + ax + b seja divisível por g(x) = (x - 1)².

Solução:

Usando Briot-Rufinni, vamos dividir p(x) por (x - 1).

1 ............ 0 ............ a ............ b | 1
1 ............ 1 ........ (1 + a) ... (1 + a + b)

(1 + a + b) é o resto da divisão. Esse resto deve ser igual a zero, ou seja:
(1 + a + b) = 0

Consequentemente, após a divisão, obtemos o polinômio k(x) = x² + x + (1 + a).

Usando Briot-Rufinni novamente, vamos dividir k(x) por (x - 1).

1 ............ 1 ............ (1 + a) | 1
1 ............ 2 ............ (a + 3)

(a + 3) é o resto da divisão. Esse resto deve ser igual a zero, ou seja:
(a + 3) = 0

Portanto, concluímos que:

a + 3 = 0 ⇒ a = -3

1 + a + b = 0 ⇒ 1 - 3 + b = 0 ⇒ b = 2