(PUC-PR) O valor de x na equação abaixo é:
1+ 3+ 3² + 3³ + ... 3^x - 9841 = 0

A) 8
B) 9
C) 10
D) 7
E) 15

Solução:
1 + 3 + 3² + 3³ + ... 3^x - 9841 = 0
3⁰ + 3 + 3² + 3³ + ... 3^x = 9841

Observe que o lado esquerdo da igualdade corresponde à soma dos termos de uma PG cuja razão é q = 3.

A fórmula da soma de uma PG é dada por:
Sn = a₁(q^n - 1)/(q - 1)

Então, usando a fórmula acima, obtemos:
(3^(x + 1) - 1)/(3 - 1) = 9841
3^(x + 1) = 19683

Decompondo 19683, obtemos que: 19683 = 3⁹. Logo:
3^(x + 1) = 3⁹
x + 1 = 9
x = 8 (RESPOSTA "A")

(CESPE) De um grupo de 70 técnicos, foram formadas 3 equipes e cada técnico só pôde participar de uma equipe. As equipes, denominadas M, N e P, possuem, respectivamente, m, n e p técnicos, em que m < n < p. Com relação a essas equipes, julgue o item a seguir:
• Se os números de técnicos das equipes estiverem em progressão geométrica, e se m for igual a 25% de p, então as equipes M e N terão, juntas, menos de 28 técnicos. (CERTO ou ERRADO)

Solução:
m = 0,25p
PG(0,25p; n; p)

an = a₁ ∙ q^(n - 1)
p = 0,25p ∙ q²
q² = 4
q = 2 (razão da PG)

Então:
n = 0,25p ∙ q
n = 0,25p ∙ 2
n = 0,5p

Logo: PG(0,25p; 0,5p; p)

Mas como a soma dos três termos deve resultar 70, temos:
0,25p + 0,5p + p = 70
p = 40

Portanto: PG(10, 20, 40)

Logo, as equipes M e N terão, juntas, 10 + 20 = 30 técnicos.
Então, a afirmação está ERRADA. (RESPOSTA)

Um atleta, inicialmente no quilômetro 0 de uma estrada, corre até o quilômetro 14. Em seguida, ele da meia volta e retorna correndo metade do percurso. Em seguida, dá meia volta novamente e percorre metade do trecho anterior e assim continua indefinidamente. Qual a soma das distancias percorridas se ele continuar correndo desta forma indefinidamente?

Solução:
As distâncias percorridas pelo atleta formam a seguinte P.G.:
P.G.(14; 7; 3,5, ...)

A razão dessa P.G. é q = 1/2.

Então, se o atleta continuar correndo indefinidamente, a soma das distâncias percorridas é igual a:
S∞ = a₁/(1 - q)
S∞ = 14/(1 - 1/2)
S∞ = 14/(1/2)
S∞ = 28 km (RESPOSTA)